Arminia Bielefeld

Ortega bắt đầu sự nghiệp tại một câu lạc bộ ở phía bắc Hesse, câu lạc bộ TSV Jahn Calden trước khi anh chuyển tới KSV Baunatal và sau đó là Hessen Kassel. Vào năm 2007, anh chuyển tới câu lạc bộ Arminia Bielefeld và trở thành một phần của đội trẻ. Trong mùa giải 2010–11, anh đã có 6 lần ra sân cho đội 2 thi đấu ở Regionalliga West. Một năm sau đó, anh đã được triệu tập lên đội 1 và có trận ra mắt đội bóng Arminia Bielefeld vào ngày 1 tháng 10 năm 2011 trong trận đấu với 1.FC Heidenheim thay thế cho thủ môn Patrick Platins bị chấn thương. Sau màn trình diễn không tốt của anh trước SC Preußen Münster, Ortega đã để mất vị trí vào tay Patrick Platins, thay vào đó anh thường hay bắt ở Westphalian Cup. Tuy nhiên, anh cùng đội bóng của mình đã giành được tấm vé thăng hạng lên Bundesliga 2 vào cuối mùa giải 2012–13 của Liga 3 và sau đó anh đồng ý gia hạn hợp đồng thêm 2 năm.

1860 München

Vào tháng 6 năm 2014, Ortega gia nhập 1860 München theo dạng chuyển nhượng tự do. Anh có trận ra mắt đội bóng tại vòng 1 của DFB-Pokal vào mùa giải 2014–15 trong chiến thắng 2-1 trước Holstein Kiel[1]. Sau khi Gabór Király rời đội bóng vào năm 2014 để đến Fulham FC, Ortega trở thành thủ môn số 1 của đội bóng khi đó.

Trở lại Arminia Bielefeld

Sau khi 1860 München bị xuống hạng vào mùa giải 2016–17, Ortega rời câu lạc bộ, anh quay trở lại Arminia Bielefeld và ký một hợp đồng 3 năm với đội bóng, thay thế cho Wolfgang Hesl. Vào tháng 1 năm 2020, trước sự quan tâm của đội bóng Bayer 04 Leverkusen, Ortega đã gia hạn hợp đồng đến tháng 6 năm 2022. Vào năm 2020, anh cùng đội bóng đã thăng hạng lên hạng đấu cao nhất nước Đức Bundesliga. Vào mùa giải đầu tiên của mình tại Bundesliga, câu lạc bộ đã đứng thứ 15 và tránh được việc bị xuống hạng sau khi thắng 2-0 VfB Stuttgart tại vòng đấu cuối cùng. Tạp chí bóng đá Đức "Kicker" đánh giá rằng Ortega là thủ môn xuất sắc thứ hai của giải đấu. Vào mùa giải 2021–22, Arminia Bielefeld bị xuống hạng khi chỉ xếp thứ 17 và Ortega cũng đã rời câu lạc bộ theo dạng tự do.

Manchester City

Vào ngày 1 tháng 7 năm 2022, Ortega đã đặt bút kí hợp đồng có thời hạn 3 năm với câu lạc bộ đang thi đấu tại Premier League là Manchester City[2] theo dạng chuyển nhượng tự do, anh sẽ là thủ môn thứ 4 của câu lạc bộ sau Ederson, Zack Steffen và Scott Carson. Anh là bản hợp đồng thứ 2 của Manchester City tại kì chuyển nhượng hè 2022 sau thương vụ Erling Haaland.